الجبر الخطي لاستخدامه في الروبوتات ↣
visible
visible
date
May 21, 2023
thumbnail
slug
الجبر_الخطي_لاستخدامه_في_الروبوتات
author
status
Public
tags
روبوت
summary
تعتبر الرياضيات والفيزياء الأساسية ضرورية لتعلم تطوير الروبوتات، حيث توفر المبادئ الأساسية وتمكن من نمذجة ومحاكاة سلوك أنظمة الروبوتات وتطوير الخوارزميات وأنظمة التحكم. كما تساعد على تطوير مهارات حل المشكلات والتفكير النقدي والاستنتاج التحليلي. ومن خلال تعلم الرياضيات والفيزياء، يمكن تطبيقها في مجالات متنوعة مثل حركيات وديناميات الروبوت، ودمج وعملية معايرة الحساسات، وإدراك الروبوت، وتخطيط المسار والتحكم بالحركة، وتعلم الآلة ورؤية الحاسوب، وتحديد الموقع وعملية رسم الخرائط للروبوت، وتحسين وتصميم النظام.
type
Post
updatedAt
Dec 13, 2023 06:07 AM
Status
Done
Person
المقدمةمفاهيم أساسية:أنظمة المعادلات الخطية:مسافات المتجهات والتحولات الخطية:القيم الذاتية والمتجهات الذاتية:التعامد والإسقاطات المتعامدة:تحليل القيمة الفردية (SVD):مواضيع إضافية:قصة مع درس تعليميالقصة الاولى : (المفاهيم الاساسية)مهمة:المشكلة:الحل:القصة الثانية:(Systems of Linear Equations)المهمة:مثال:مشكلة:الحل:المرحلة الاولى: التحويلالمرحلة الثانية: Gauss–Jordan elimination
المقدمة
هذا الفرع من الرياضيات ضروري للروبوتات ، لأنه يتعامل مع المتجهات ، ومساحات المتجهات ، والتحولات الخطية. يستخدم هذا على نطاق واسع في جوانب مختلفة من الروبوتات ، مثل التحكم في الروبوت وتفسير بيانات المستشعر ورؤية الماكينة.
مفاهيم أساسية:
- النواقل والمساحات المتجهة
- القياسات وعمليات المتجهات (الجمع والطرح والضرب القياسي)
- الاستقلال والامتداد الخطي
- تمثيل المصفوفة والعمليات (الجمع والطرح والضرب)
- تبديل المصفوفة والعكس
- المحددات والقيم الذاتية
أنظمة المعادلات الخطية:
- حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طرق المصفوفة (حذف غاوسي ، تحلل LU)
- ينعكس المصفوفة وتطبيقاته في حل أنظمة المعادلات
- الأنظمة المتجانسة ومفهوم الفضاء الفارغ
- الأنظمة غير المتجانسة ومفهوم مساحة العمود
- حلول وتطبيقات المربعات الصغرى في تركيب المنحنى
مسافات المتجهات والتحولات الخطية:
- الفراغات ونواقل الأساس
- التحولات الخطية وخصائصها
- تمثيل مصفوفة للتحولات الخطية
- نواة وصورة للتحول الخطي
- رتبة وبطلان المصفوفة
القيم الذاتية والمتجهات الذاتية:
- تعريف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
- قطري المصفوفات
- تطبيقات القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في تحليل الاستقرار وأنظمة التحكم
التعامد والإسقاطات المتعامدة:
- مساحات المنتج الداخلية والمنتجات النقطية
- المتجهات المتعامدة والمكملات المتعامدة
- القواعد المتعامدة والإسقاطات المتعامدة
- عملية جرام-شميدت للتعامد
تحليل القيمة الفردية (SVD):
- تعريف وحساب SVD
- تطبيقات SVD في الروبوتات ، مثل معايرة الروبوت وتخطيط الحركة
مواضيع إضافية:
تحليل مصفوفة (تحليل عوامل QR ، تحلل تشوليسكي)
المصفوفات المتعامدة والدوران في مساحة ثلاثية الأبعاد
المصفوفات المحددة الموجبة والصيغ التربيعية
تحليل المكون الرئيسي (PCA) لتقليل الأبعاد
قصة مع درس تعليمي
القصة الاولى : (المفاهيم الاساسية)
أليكس، أحد عشاق الروبوتات، يعمل على بناء ذراع آلية. ومع ذلك، فهو يواجه صعوبة في فهم مفهوم النواقل ومساحات المتجهات. بدون فهم واضح لهذه المفاهيم الأساسية، يجد صعوبة في التحكم بحركات الذراع بدقة. ولتجاوز هذه المشكلة، بدأ أليكس في دراسة الجبر الخطي وتعلم كيفية تمثيل موضع الذراع واتجاهها باستخدام المتجهات. وبهذه المعرفة، يمكنه الآن برمجة الذراع لأداء المهام بدقة.
مهمة:
قرر أليكس التركيز على فهم الجمع المتجه والضرب القياسي ، وهما عمليتان أساسيتان في الجبر الخطي. إنه يريد استيعاب مفهوم الجمع بين النواقل وتوسيع نطاقها للتحكم في حركات الذراع الآلية.
لنفكر في سيناريو بسيط حيث يتم تمثيل موضع الذراع الروبوتية في مستوى ثنائي الأبعاد بواسطة المتجه
، حيث x و y هما إحداثيات الذراع على طول المحور x والمحور y ، على التوالي. يحتاج أليكس إلى برمجة الذراع للانتقال إلى موضع جديد محدد بواسطة المتجه
المشكلة:
المشكلة: أليكس غير متأكد من كيفية حساب الموضع الجديد للذراع من خلال الجمع بين متجه الوضع الحالي v مع متجه الإزاحة u باستخدام إضافة المتجه.
الحل:
يدرك أليكس أن إضافة المتجهات تنطوي على إضافة المكونات المقابلة في المتجهات. لذلك ، للعثور على المتجه الجديد للوضع ، يضيف المكونات الإكس والإيجابية بشكل منفصل:
الموضع الجديد =
على سبيل المثال ، إذا كان متجه الوضع الحالي v هو [3، 4] ، فيمكن لأليكس حساب الموضع الجديد على النحو التالي:
الموضع الجديد =
بفهم إضافة المتجهات وتطبيقها بشكل صحيح ، يمكن لأليكس التحكم بحركات الذراع الآلية بدقة من خلال تحديث موقعها باستخدام المتجهات. يساعده هذا المعرفة الأساسية في الجبر الخطي على وضع الأسس للعمليات والمهام الأكثر تعقيدًا في أنظمة التحكم الروبوتية.
القصة الثانية:(Systems of Linear Equations)
تقوم سارة، وهي مهندسة روبوتية، بتصميم نظام ملاحة آلي يعتمد على حل أنظمة المعادلات الخطية. ومع ذلك، وجدت أن النظام يواجه أخطاء متعلقة بتحديد موقع الروبوت باستخدام بيانات المستشعر. بحثت سارة في الأدوات المتاحة لها ووجدت أن تحسين دقة حساباتها يمكن القيام به باستخدام طرق المصفوفة لحل نظام المعادلات. وباستخدام تقنيات إزالة Gaussian و LU، نجحت في تحسين دقة نظام الملاحة بشكل كبير، مما يجعلها تشعر بالفخر بما حققته من إنجاز.
المهمة:
يتمحور تركيز سارة حاليًا حول حل نظام المعادلات الخطية، وذلك باستخدام تقنية الحذف الغاوسي. يهدف هذا الاهتمام إلى فهم أكثر عمقًا لكيفية تحسين دقة نظام الملاحة الآلي الخاص بها، ومن ثم تحقيق أفضل أداء لهذا النظام. وبالنسبة للحذف الغاوسي، فهو يعد واحدًا من أهم الطرق الرياضية لحل نظام المعادلات الخطية، ويحقق ذلك من خلال تحويل المعادلات الخطية إلى صيغة مثلثية الشكل، قبل البدء في حل المعادلات بشكل فعلي. وعلى الرغم من أن هذا الأسلوب يتطلب بعض الجهد والوقت الإضافي، إلا أنه يمكن أن يؤدي إلى نتائج أفضل وأكثر دقة.
مثال:
ضع في اعتبارك نظام المعادلات الخطية التي تمثل موقع الروبوت بناءً على بيانات المستشعر:
مشكلة:
المشكلة: سارة غير متأكدة من كيفية حل هذا النظام من المعادلات باستخدام طريقة الحذف الغاوسي لتحديد الموقع الدقيق للروبوت.
طريقة الحذف الغاوسي هي واحدة من أهم الطرق الرياضية لحل نظام المعادلات الخطية. تحقق هذه الطريقة من ذلك عن طريق تحويل المعادلات الخطية إلى شكل مثلثي قبل البدء في حل المعادلات بشكل فعلي. وعلى الرغم من أن هذا الأسلوب يتطلب بعض الجهد والوقت الإضافي، إلا أنه يمكن أن يؤدي إلى نتائج أفضل وأكثر دقة.
الحل:
لحل هذا النظام من المعادلات باستخدام طريقة الحذف الغاوسي، يجب عليك القيام بالخطوات التالية:
المرحلة الاولى: التحويل
- تمثيل المعادلات الخطية في شكل مصفوفة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا النظام التالي من المعادلات:
يمكن تمثيل هذا النظام في شكل مصفوفة على النحو التالي:
المرحلة الثانية: Gauss–Jordan elimination
- قم بإجراء عمليات الحذف اللازمة لتحويل المصفوفة إلى صيغة مثلثية الشكل. يتم ذلك عن طريق إضافة أو طرح صف مضاعف من صف رئيسي في المصفوفة. يتم تطبيق هذه العمليات على المصفوفة الأصلية وكذلك على المصفوفة الموسعة التي تشمل الأعمدة الحرة.
- استخدم العمليات البسيطة لحل المعادلات المثلثة. بالنسبة للمصفوفات المثلثية العلوية ، يمكن حساب القيم الغير معروفة بسهولة. بالنسبة للمصفوفات المثلثية السفلية ، يمكن حساب القيم الغير معروفة باستخدام تقنية الاستنتاج العكسي.
على سبيل المثال، إذا كان لدينا النظام التالي من المعادلات:
يمكن استخدام طريقة الحذف الغاوسي لتحويل هذه المصفوفة إلى صيغة مثلثية الشكل:
/
ثم، يمكن استخدام العمليات البسيطة لحل هذا النظام من المعادلات:
وبالتالي، يمكن حساب القيم الغير معروفة:
باستخدام طريقة الحذف الغاوسي، يمكن لسارة تصميم وتحسين نظام الملاحة الآلي الخاص بها، وهي إحدى الطرق الرياضية الأساسية لحل نظام المعادلات الخطية.